He's
「彼は~です」という意味で、He isの短縮形です。
a bit dainty
「少しえり好みする」「少し好みがうるさい」という意味です。「a bit」は「少し」という程度を表します。
about his food
「彼の食べ物に関して」という意味で、何に対してえり好みするのかを示します。
and
「そして」という意味で、二つの文やフレーズをつなぎます。
won't eat
「食べないだろう」「食べるつもりがない」という意味で、will not eatの短縮形です。
anything spicy
「何か辛いもの」という意味です。