He
「彼」という男性一人称の代名詞です。
poked
「突き出した」「突っ込んだ」という意味の動詞pokeの過去形です。
his
「彼の」という意味で、he(彼)の所有を示します。
beak
ここでは俗語的に「鼻」という意味の名詞です。
into
「~の中に」という意味で、動きを伴う方向を示す前置詞です。
everyone's
「みんなの」という意味で、everyone(みんな)の所有を示します。
business
ここでは「用事」「プライベートなこと」という意味の名詞です。
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文の終わりを示します。