Zorn's Lemma

/ˈzɔːrnz ˈlɛmə/ ゾルンのレンマ

1. 順序集合において、任意の鎖が上界を持つならば極大元が存在するという、選択公理と同値な命題。

ゾルンの補題は、数学の集合論において、ある種の順序集合に必ず極大元が存在することを保証する命題です。これは選択公理や整列可能定理と同値であることが知られており、関数解析、抽象代数、位相空間論など、様々な分野で存在証明の道具として広く用いられます。特に、最大元が存在しない場合でも極大元が存在することを示す際に強力なツールとなります。

Many existence proofs in abstract algebra rely on Zorn's Lemma. (抽象代数学における多くの存在証明は、ゾルンの補題に依拠している。)

• Many existence proofs: 多くの存在証明
• in abstract algebra: 抽象代数学において
• rely on: 〜に依拠する、〜に頼る
• Zorn's Lemma: ゾルンの補題

To show the existence of a maximal ideal in a ring, one often uses Zorn's Lemma. (環における極大イデアルの存在を示すために、ゾルンの補題がしばしば用いられる。)

• To show: 〜を示すために
• the existence of: 〜の存在
• a maximal ideal: 極大イデアル
• in a ring: 環において
• one often uses: しばしば用いられる
• Zorn's Lemma: ゾルンの補題

Zorn's Lemma is logically equivalent to the Axiom of Choice. (ゾルンの補題は選択公理と論理的に同値である。)

• Zorn's Lemma: ゾルンの補題
• is logically equivalent to: 〜と論理的に同値である
• the Axiom of Choice: 選択公理

In functional analysis, the Hahn-Banach theorem can be proven using Zorn's Lemma. (関数解析において、ハーン＝バナッハの定理はゾルンの補題を用いて証明できる。)

• In functional analysis: 関数解析において
• the Hahn-Banach theorem: ハーン＝バナッハの定理
• can be proven: 証明できる
• using Zorn's Lemma: ゾルンの補題を用いて

関連

• Axiom of Choice
• Well-ordering theorem
• Hausdorff maximal principle
• Set theory
• Transfinite induction
• Abstract algebra
• Functional analysis