Transfinite induction

/ˌtrænzˌfaɪnaɪt ɪnˈdʌkʃən/ トランスファナイト インダクション

1. 無限の順序数にまで拡張された帰納法による証明手法

自然数の集合に限定される通常の数学的帰納法を、任意の順序数、すなわち無限の順序数にまで拡張した強力な証明手法です。整列集合上の命題や、順序数に関する性質を証明する際に用いられます。この原理は、順序数αが真であれば、それより大きい順序数βでも真であると結論付けるために使われます。

Transfinite induction is a generalization of mathematical induction. (超限帰納法は数学的帰納法の一般化である。)

• Transfinite induction: 無限の順序数に適用される帰納法。この文脈では「超限帰納法」という特定の数学の証明手法を指します。
• is: 〜である、という状態を表す動詞です。
• a generalization: 「一般化」という意味の名詞句です。
• of mathematical induction: 「数学的帰納法の」という意味で、何が一般化されたのかを示します。

We often use transfinite induction to prove properties of ordinal numbers. (順序数の性質を証明するために、しばしば超限帰納法を用いる。)

• We: 私たち、という主語です。
• often use: 「しばしば使う」という意味の動詞句です。
• transfinite induction: 「超限帰納法」という、この文の主題となる数学的証明手法です。
• to prove: 「〜を証明するために」という目的を示します。
• properties: 「性質」という意味の名詞です。
• of ordinal numbers: 「順序数の」という意味で、何に関する性質かを示します。

The principle of transfinite induction is central to many proofs in set theory. (超限帰納法の原理は、集合論における多くの証明において中心的である。)

• The principle: 「原理」という意味の名詞です。
• of transfinite induction: 「超限帰納法の」という意味で、何の原理かを示します。
• is: 〜である、という状態を表す動詞です。
• central: 「中心的である」という意味の形容詞です。
• to many proofs: 「多くの証明にとって」という意味で、中心である対象を示します。
• in set theory: 「集合論において」という意味で、証明が行われる分野を示します。

関連

• Mathematical induction
• Ordinal number
• Well-ordering principle
• Set theory
• Axiom of choice