They
「彼ら」という複数の人を指します。
took
取ったという意味の動詞takeの過去形です。
an
数えられる名詞が単数であること示す冠詞です。
unhurried approach
急がないやり方、のんびりした取り組み方という意味です。unhurriedは形容詞でapproach（やり方、取り組み）を修飾しています。
to solving the problem
その問題を解決するために、解決することに対して、という意味です。toは前置詞または不定詞の一部で、solving the problem（問題を解決すること）という動名詞句を導いています。
ChangeListener
文の終わりを示します。