Sumset

/ˈsʌmˌsɛt/ サムセット

1. 数学、特に加法的組み合わせ論において、2つの集合の要素を足し合わせて得られるすべての可能な和からなる新しい集合。

数学の一分野である加法的組み合わせ論で使われる専門用語です。2つの集合AとBがあるとき、Aの任意の要素aとBの任意の要素bを選び、その和a+bを計算します。このようにして得られるすべての可能な和を集めてできる新しい集合が「和集合」です。

If A = {1, 2} and B = {3, 4}, then the sumset A + B = {1+3, 1+4, 2+3, 2+4} = {4, 5, 5, 6}, which simplifies to {4, 5, 6} as sets don't contain duplicates. (もしA = {1, 2}、B = {3, 4} である場合、和集合A + B = {1+3, 1+4, 2+3, 2+4} = {4, 5, 5, 6} となり、集合は重複を含まないので {4, 5, 6} と簡略化されます。)

• If A = {1, 2} and B = {3, 4}: 集合Aと集合Bを具体的な数値で定義しています。
• then the sumset A + B: その後、集合Aと集合Bの和集合を示します。
• = {1+3, 1+4, 2+3, 2+4}: 和集合の要素がどのように計算されるかを示しています。
• = {4, 5, 5, 6}: 計算結果の集合です。
• which simplifies to {4, 5, 6}: 集合は重複要素を持たないため、簡略化された結果です。
• as sets don't contain duplicates.: 集合が重複を含まないという数学的性質を説明しています。

Sumsets are crucial for understanding the structure of sets under addition. (和集合は、加算における集合の構造を理解するために不可欠です。)

• Sumsets: 和集合を指します。
• are crucial for: ～にとって極めて重要である、不可欠であるという意味です。
• understanding the structure: 構造を理解することを示します。
• of sets under addition.: 加算の操作の下での集合を指します。

Many famous theorems in additive combinatorics, like Szemeredi's Theorem, involve properties of sumsets. (加法的組み合わせ論における多くの有名な定理、例えばセメレディの定理などは、和集合の性質に関係しています。)

• Many famous theorems: 多くの有名な定理を指します。
• in additive combinatorics: 加法的組み合わせ論という数学の分野を指します。
• like Szemeredi's Theorem: セメレディの定理のように、具体例を挙げています。
• involve properties of sumsets.: 和集合の性質が関係していることを意味します。

The generalized sumset A_1 + ... + A_k means the set of all sums a_1 + ... + a_k where a_i is from A_i. (一般化された和集合 A_1 + ... + A_k とは、a_i が A_i からの要素であるときのすべての和 a_1 + ... + a_k の集合を意味します。)

• The generalized sumset: 一般化された和集合を指します。
• A_1 + ... + A_k: 複数の集合の和集合を示す表記です。
• means the set of all sums: すべての和からなる集合を意味します。
• a_1 + ... + a_k: 各集合から一つずつ要素を選び、それらを足し合わせた形を示します。
• where a_i is from A_i.: 各a_iが対応する集合A_iの要素であることを説明しています。

関連

• Difference set
• Minkowski sum
• Set theory
• Additive combinatorics