If
「もし~ならば」という意味の条件を表す接続詞です。
it
ここでは天候を指す代名詞です。
starts
「始める」という意味の「start」の三人称単数現在形です。
raining
「rain」(雨が降る)の現在進行形です。「~し始める」という意味で、ここでは「雨が降り始めたら」という条件を表します。
cats
ここでは比喩的に使われています。文字通り「猫」という意味ではなく、「cats and dogs」全体で激しい雨を表すイディオムの一部です。
and
「~と~」という意味で、catsとdogsを繋げています。
dogs
ここも比喩的に使われています。文字通り「犬」という意味ではなく、「cats and dogs」全体で激しい雨を表すイディオムの一部です。
we'll
「we will」の短縮形であり、「私たちは~するでしょう」という意味です。
have
「~を持つ」という意味ですが、ここでは「~することになる」という意味で使われています。
to
「~しなければならない」という意味です。
stay
「滞在する」という意味です。
inside
「中に」という意味です。