Achieving
「~を達成すること」という動名詞です。
Lean FIRE
「リーンFIRE」という経済的自立の概念を指します。
requires
「~を必要とする」という意味の動詞です。
meticulous budgeting
「綿密な予算管理」という意味です。
and
「~と」「そして」という接続詞です。
a commitment
「強い決意」「献身」という意味です。
to living below your means
「収入以下の生活を送ることへの」という「commitment」の内容を説明しています。