Banach-Tarski paradox

[ˈbanax ˈtarski ˈpærəˌdɑks] バナッハ＝タルスキーのパラドックス

1. バナッハ＝タルスキーのパラドックスは、3次元以上のユークリッド空間において、球体を有限個の断片に分解し、それらを回転と平行移動だけで再構成することで、元の球体と同じ大きさの2つの球体を作ることができるという数学の定理です。

このパラドックスは、選択公理を仮定した3次元以上のユークリッド空間において、有限個の「点集合」に分解された物体が、それらを合同変換（回転と平行移動）のみで再配置することで、元の物体と同じ大きさの2つの物体を形成できるという驚くべき数学的結果を指します。直感に反しますが、測度論における非可測集合の存在に由来し、実世界の物理的な分解とは異なる数学的な概念です。

The Banach-Tarski paradox demonstrates a highly counter-intuitive property of set theory. (バナッハ＝タルスキーのパラドックスは、集合論における非常に直感に反する性質を示しています。)

• The Banach-Tarski paradox: 数学の一つの定理で、特定の条件下で物体を分解し再構成すると元の二倍になるという直感に反する現象を指します。
• demonstrates: (何かを)示す、証明するという意味です。
• a highly counter-intuitive property: 「非常に直感に反する性質」という意味です。「highly」は「非常に」、「counter-intuitive」は「直感に反する」、「property」は「性質」を意味します。
• of set theory.: 「集合論の」という意味です。「set theory」は数学の一分野である「集合論」を指します。

Despite its strange implications, the Banach-Tarski paradox is a mathematically rigorous result. (その奇妙な含意にもかかわらず、バナッハ＝タルスキーのパラドックスは数学的に厳密な結果です。)

• Despite its strange implications,: 「その奇妙な含意にもかかわらず」という意味です。「despite」は「～にもかかわらず」、「strange」は「奇妙な」、「implications」は「含意、結果、影響」を意味します。
• the Banach-Tarski paradox: 数学の一つの定理で、特定の条件下で物体を分解し再構成すると元の二倍になるという直感に反する現象を指します。
• is: 「～である」という存在や状態を示す動詞です。
• a mathematically rigorous result.: 「数学的に厳密な結果」という意味です。「mathematically」は「数学的に」、「rigorous」は「厳密な」、「result」は「結果」を意味します。

One of the key elements in the Banach-Tarski paradox is the Axiom of Choice. (バナッハ＝タルスキーのパラドックスにおける重要な要素の一つは、選択公理です。)

• One of the key elements: 「重要な要素の一つ」という意味です。「one of the」は「～の一つ」、「key」は「重要な」、「elements」は「要素」を意味します。
• in the Banach-Tarski paradox: 「バナッハ＝タルスキーのパラドックスにおける」という意味です。
• is: 「～である」という存在や状態を示す動詞です。
• the Axiom of Choice.: 数学の集合論における公理の一つで、「選択公理」を指します。

関連

• Axiom of Choice
• non-measurable set
• geometric measure theory
• paradoxical decomposition
• Hausdorff paradox
• doubling the ball