geometric measure theory

ˌdʒiːəˈmɛtrɪk ˈmɛʒər ˈθɪəri ジオメトリック メジャー セオリー

1. 集合の幾何学的特性を測度論の手法を用いて研究する数学の分野。

幾何学的測度論は、ユークリッド空間内の様々な集合、特に滑らかではない、不規則な集合の幾何学的性質（例えば、長さ、面積、体積の概念を一般化したもの）を、測度論という数学的ツールを用いて厳密に研究する分野です。変分問題や最小曲面問題など、古典的な幾何学や解析学では扱いにくい問題に適用されます。

Geometric measure theory provides a rigorous framework for understanding surfaces with minimal area. (幾何学的測度論は、最小面積を持つ曲面を理解するための厳密な枠組みを提供します。)

• Geometric measure theory: 幾何学的測度論。集合の幾何学的特性を測度論的に扱う数学の分野を指します。
• provides: 提供します、与えます。
• a rigorous framework: 厳密な枠組み、厳密な骨組み。
• for understanding: 理解するための。
• surfaces: 表面、曲面。
• with minimal area: 最小の面積を持つ。例えば、石鹸膜のような形を指します。

Many problems in calculus of variations can be approached using geometric measure theory. (変分法における多くの問題は、幾何学的測度論を用いてアプローチすることができます。)

• Many problems: 多くの問題。
• in calculus of variations: 変分法における、変分法の分野での。関数の形状を変化させたときの値の変化を研究する数学分野です。
• can be approached: 取り組むことができます、アプローチできます。
• using geometric measure theory: 幾何学的測度論を使って、幾何学的測度論を用いて。前述の数学分野を手段として用いることを意味します。

The foundations of geometric measure theory were laid by mathematicians like Federer and De Giorgi. (幾何学的測度論の基礎は、フェデラーやデ・ジョルジといった数学者によって築かれました。)

• The foundations: 基礎、基盤。
• of geometric measure theory: 幾何学的測度論の。
• were laid: 築かれました、確立されました。物事の根幹が作られたことを表します。
• by mathematicians like Federer and De Giorgi: フェデラーとデ・ジョルジのような数学者によって。この分野の発展に大きく貢献した人物を指します。

2. 数学の一分野であり、幾何学と測度論の概念を統合したもの。

この理論は、一般的な集合の「サイズ」（長さ、面積、体積など）を、より柔軟で広範な意味で定義し、分析することを可能にします。これにより、微分可能な多様体のような滑らかな対象だけでなく、フラクタルや特異点を持つ集合など、より複雑な幾何学的対象も研究対象とすることができます。

Researchers utilize geometric measure theory to study the properties of fractals. (研究者たちは、フラクタルの特性を研究するために幾何学的測度論を利用します。)

• Researchers: 研究者たち。
• utilize: 利用する、活用する。
• geometric measure theory: 幾何学的測度論。
• to study: 研究するために。
• the properties: 特性、性質。
• of fractals: フラクタルの。自己相似性を持つ図形や集合を指します。

A deep understanding of geometric measure theory is essential for advanced studies in analysis. (幾何学的測度論の深い理解は、解析学の高度な研究にとって不可欠です。)

• A deep understanding: 深い理解。
• of geometric measure theory: 幾何学的測度論の。
• is essential: 不可欠である、本質的である。
• for advanced studies: 高度な研究にとって。
• in analysis: 解析学における。数学の一分野で、連続性、微分、積分などを扱います。

The subject of geometric measure theory has broad applications in pure and applied mathematics. (幾何学的測度論は、純粋数学および応用数学において幅広い応用を持っています。)

• The subject: その主題、その分野。
• of geometric measure theory: 幾何学的測度論の。
• has broad applications: 幅広い応用を持つ。
• in pure and applied mathematics: 純粋数学および応用数学において。数学が理論それ自体を追求する「純粋数学」と、他の科学や工学に応用する「応用数学」の両方を含むことを指します。

関連

• calculus of variations
• differential geometry
• measure theory
• minimal surfaces
• Federer
• De Giorgi
• geometric analysis
• Sobolev spaces