It's
「It is」の短縮形で、「それは～である」という意味です。
a ticklish problem
「やっかいな問題」という意味です。形容詞「ticklish」が名詞「problem」を修飾しています。
that
先行詞「problem」を修飾する関係代名詞で、「～な」という意味で後続の節をつなぎます。
needs
「～を必要とする」という意味の動詞です。主語が三人称単数なので-sがついています。
careful handling
「慎重な扱い」という意味です。形容詞「careful」が動名詞「handling」を修飾しています。