Many European countries
「多くのヨーロッパ諸国」という意味です。
operate under
「～の下で運営される」「～に従って機能する」という意味です。
a multi-party system
「多党制」を指します。
where
関係副詞で、先行詞「multi-party system」を説明し、「～する場所で」という意味です。
several political parties
「いくつかの政党」という意味です。
compete for power
「権力を争う」という意味です。