He
「彼」という男性を指します。
blithely
軽率に、無邪気に、という意味の副詞です。
promised
「約束した」という、過去の行動を表します。
to finish
「～を終えること」という行動の目的を表します。
the project
特定の「プロジェクト」を指します。
by Friday
「金曜日までに」という期限を表します。
not realizing
「～に気づかずに」という、行動の付帯状況を表します。
the amount of work involved
「関係する仕事の量」を指します。