analytic number theory

/ˌænəˌlɪtɪk ˈnʌmbər ˈθɪəri/ アナリティック ナンバー スィオリー

1. 整数論の一分野で、解析学（特に複素解析）の手法を用いて、素数の分布やディオファントス方程式の解といった整数に関する問題を研究する学問。

整数論の諸問題、特に素数の分布やディオファントス方程式の解の性質などを、複素解析やフーリエ解析といった解析学の強力な道具を使って研究する数学の一分野です。厳密な論理と抽象的な概念を扱うことが多いです。

Analytic number theory uses methods from mathematical analysis to solve problems about integers. (解析的数論は、整数に関する問題を解くために数学的解析の手法を使用します。)

• Analytic number theory: 「解析的数論」という、数学の一分野を指します。
• uses: 「～を用いる」「～を使用する」という意味の動詞です。
• methods: 「手法」「方法」という意味です。
• from mathematical analysis: 「数学的解析から」という意味で、解析学の手法であることを示します。
• to solve problems: 「問題を解くために」という目的を表します。
• about integers: 「整数に関する」という意味です。

The prime number theorem is a fundamental result in analytic number theory. (素数定理は解析的数論における基本的な結果です。)

• The prime number theorem: 「素数定理」という、数学の重要な定理の一つです。
• is: 「～である」という存在や状態を表す動詞です。
• a fundamental result: 「基本的な結果」という意味です。
• in analytic number theory: 「解析的数論において」という意味で、その分野内での位置づけを示します。

Many famous conjectures in number theory are approached using techniques from analytic number theory. (数論における多くの有名な予想は、解析的数論の手法を用いて研究されます。)

• Many famous conjectures: 「多くの有名な予想」という意味です。
• in number theory: 「数論において」という意味です。
• are approached: 「研究される」「アプローチされる」という意味の受動態です。
• using techniques: 「手法を用いて」という意味です。
• from analytic number theory: 「解析的数論から」という意味で、その分野の手法であることを示します。

2. リーマンゼータ関数やディリクレL関数といった複素関数の性質を深く研究し、それらの零点や特殊値が素数の分布や算術級数中の素数の密度といった数論の核心的な問題と密接に結びついていることを利用する分野。

解析的数論は、リーマンゼータ関数やディリクレL関数などの複素関数を深く研究し、それらの関数の零点の分布や特殊値が素数の分布や算術級数中の素数の密度といった数論の核心的な問題と密接に結びついていることを利用します。これにより、古典的な整数論では難しかった問題に新たな視点と解決策を提供します。

Riemann's zeta function is a central object of study in analytic number theory. (リーマンのゼータ関数は、解析的数論の中心的な研究対象です。)

• Riemann's zeta function: 「リーマンのゼータ関数」という、数学の重要な関数の一つです。
• is: 「～である」という存在や状態を表す動詞です。
• a central object: 「中心的な対象」という意味です。
• of study: 「研究の」という意味です。
• in analytic number theory: 「解析的数論において」という意味で、その分野内での位置づけを示します。

Dirichlet's theorem on arithmetic progressions is a classic result derived using analytic number theory. (ディリクレの算術級数定理は、解析的数論を用いて導かれた古典的な結果です。)

• Dirichlet's theorem: 「ディリクレの定理」という、数学の重要な定理の一つです。
• on arithmetic progressions: 「算術級数に関する」という意味です。
• is: 「～である」という存在や状態を表す動詞です。
• a classic result: 「古典的な結果」という意味です。
• derived using: 「～を用いて導かれた」という意味です。
• analytic number theory: 「解析的数論」を指します。

Developing new techniques in complex analysis can directly impact advancements in analytic number theory. (複素解析における新しい手法の開発は、解析的数論の進歩に直接影響を与える可能性があります。)

• Developing new techniques: 「新しい手法の開発」という意味です。
• in complex analysis: 「複素解析において」という意味です。
• can directly impact: 「直接影響を与えることができる」という意味です。
• advancements: 「進歩」「発展」という意味です。
• in analytic number theory: 「解析的数論において」という意味です。

関連

• Number theory
• Algebraic number theory
• Computational number theory
• Prime number theorem
• Riemann hypothesis
• Zeta function
• Dirichlet L-function
• Additive number theory