Additive number theory

/ˈædɪtɪv ˈnʌmbər ˈθɪəri/ アディティブ ナンバー セオリー

1. 自然数の加法的な構造を研究する数論の一分野。主に整数を他の整数の和として表す方法や、整数の集合の加法的な性質を扱います。

加法的数論は、主に整数を他の整数の和として表す方法や、整数の集合の加法的な性質を研究する数学の分野です。具体的には、ある数が特定の種類の数の和としてどのように表現できるか、または集合同士の和集合がどのような性質を持つかなどを扱います。

Additive number theory deals with representations of integers as sums of integers from a given set. (加法的数論は、与えられた集合からの整数の和としての整数の表現を扱います。)

• Additive number theory: 数の足し算に関する整数の構造を研究する数学の分野を指します。
• deals with: 「～を扱う」「～に関連する」という意味です。
• representations: 何かを表す方法や形式を意味します。ここでは「表現」や「表し方」です。
• of integers: 「整数に関する」という意味で、ここでは「整数の表現」となります。
• as sums: 「～として和」という意味で、ここでは「和として」という意味合いです。
• of integers from a given set: 「与えられた集合からの整数の」という意味で、ここでは「与えられた集合の整数からなる」という意味です。

Waring's problem is a classic example in additive number theory. (ウェアリングの問題は、加法的数論における古典的な例です。)

• Waring's problem: 任意の自然数を、特定の自然数のべき乗の和として表せるかという数論の問題です。
• is a classic example: 「典型的な例である」という意味です。
• in additive number theory: 加法的数論という分野の内部に位置することを指します。

Researchers in additive number theory often use techniques from harmonic analysis. (加法的数論の研究者は、しばしば調和解析の手法を使用します。)

• Researchers: 「研究者たち」を指します。
• in additive number theory: 加法的数論の分野に属する、あるいはその分野を専門とする人たちを指します。
• often use: 「しばしば使う」という頻度と行動を表します。
• techniques: 特定の目的を達成するための専門的な方法や技術を指します。
• from harmonic analysis: 「調和解析から派生した」という意味で、その手法の起源を示します。

2. 整数の加法的な性質、特に数を他の数の和として表現する方法を研究する数論の部門。乗法的な数論とは対照的です。

この分野は、整数を有限個の整数の和として表す問題や、集合の和集合の性質を詳しく探ることに特化しています。例えば、ゴールドバッハ予想やウェアリングの問題など、古くからの未解決問題の多くが加法的数論の範疇に入ります。乗法的な構造を扱う乗法的数論とは対照的です。

One of the central problems in additive number theory is Waring's problem. (加法的数論における中心的な問題の一つは、ウェアリングの問題です。)

• One of the central problems: 数多くある問題の中で、最も重要で中心的なものの一つを指します。
• in additive number theory: 加法的数論という数学の分野の中で、という意味です。
• is Waring's problem: ウェアリングの問題として知られる特定の数学的問題です。

The study of partitions of integers is a major area within additive number theory. (整数の分割の研究は、加法的数論における主要な分野です。)

• The study: ある事柄を深く探求すること、研究することを指します。
• of partitions of integers: 整数を、それよりも小さい正の整数の和で表す方法についての研究です。
• is a major area: 「重要な領域である」「主要な分野である」という意味です。
• within additive number theory: 加法的数論という大きな枠組みの中に含まれる、ということを示します。

Many techniques in additive number theory are combinatorial or analytic in nature. (加法的数論の多くの手法は、組み合わせ論的または解析的性質を持っています。)

• Many techniques: 多くの専門的な方法や技術を指します。
• in additive number theory: 加法的数論という分野で用いられる、という意味です。
• are combinatorial: 組み合わせ論の性質を持つことを指します。
• or analytic: 解析学の性質を持つことを指します。
• in nature: 「本質的に」「性質として」という意味で、その手法が持つ特性を表します。

関連

• Number theory
• Analytic number theory
• Algebraic number theory
• Combinatorics
• Sumset
• Partition function