Gelfond-Schneider theorem

/ˈɡɛlfɔnd ˈʃnaɪdər ˈθɪərəm/ ゲルフォント＝シュナイダーの定理

1. 代数的数の特定の累乗が超越数であることを示す数論の定理。

この定理は、非ゼロ、非イチの代数的数αと非有理数βがある場合、αのβ乗が超越数であることを断言します。これは、数学における数の性質、特に超越数論において重要な成果です。

The Gelfond-Schneider theorem states that if α and β are algebraic numbers, with α ≠ 0, 1 and β being irrational, then α^β is transcendental. (ゲルフォント＝シュナイダーの定理は、もしαとβが代数的数で、αが0でも1でもなく、βが無理数であるならば、αのβ乗は超越数であると述べています。)

• The Gelfond-Schneider theorem: 数論における重要な定理の名前です。
• states that: 「～と述べている」ということを表します。
• if α and β are algebraic numbers: 「もしαとβが代数的数であるならば」という条件を示します。
• with α ≠ 0, 1: 「αは0でも1でもない」というαの条件です。
• and β being irrational: 「そしてβは無理数である」というβの条件です。
• then α^β is transcendental: 「そのときαのβ乗は超越数である」という結論を示します。

A famous application of the Gelfond-Schneider theorem is the proof of the transcendence of e^π (Gelfond's constant). (ゲルフォント＝シュナイダーの定理の有名な応用例は、eのπ乗（ゲルフォントの定数）が超越数であることの証明です。)

• A famous application: 「有名な応用」を意味します。
• of the Gelfond-Schneider theorem: ゲルフォント＝シュナイダーの定理の、という意味です。
• is the proof: 「証明である」という意味です。
• of the transcendence: 「超越性」を意味します。
• of e^π: 「eのπ乗の」という意味です。
• (Gelfond's constant): 「（ゲルフォントの定数）」という補足説明です。

Prior to the Gelfond-Schneider theorem, the transcendence of numbers like 2^√2 was an open problem. (ゲルフォント＝シュナイダーの定理以前は、2の√2乗のような数の超越性は未解決問題でした。)

• Prior to: 「～の前に」「～より以前に」という意味です。
• the Gelfond-Schneider theorem: ゲルフォント＝シュナイダーの定理、という意味です。
• the transcendence of numbers: 「数の超越性」を意味します。
• like 2^√2: 「2の√2乗のような」という例を示します。
• was an open problem: 「未解決問題であった」という意味です。

関連

• Transcendental number
• Algebraic number
• Lindemann-Weierstrass theorem
• Hilbert's seventh problem
• Number theory
• Gelfond's constant