Her tireless efforts
「彼女のたゆまぬ努力」という意味です。tirelessは「疲れない、たゆまぬ」、effortsは「努力」を指します。
during the Crimean War
「クリミア戦争中」という意味です。duringは「～の間」、the Crimean Warは固有名詞で「クリミア戦争」です。
earned
「～を得た」「～をもたらした」という意味の動詞earnの過去形です。
Florence Nightingale
19世紀のイギリスの看護師の名前です。
the nickname
「愛称」「ニックネーム」という意味です。
'The Lady with the Lamp'
フローレンス・ナイチンゲールの象徴的な愛称で、「ランプを持った貴婦人」を意味します。