We adopted
「私たちは引き取った」という意味です。「adopt」は動物などを家族として受け入れる際に使われます。
an Alaskan Malamute puppy
「一匹のアラスカンマラミュートの子犬」を指します。
last year
「昨年」という時を表す副詞句です。
and he's grown into
「そして彼は～へと成長した」という意味です。「he's」は「he has」の短縮形です。
a beautiful, gentle giant
「美しく、優しい巨人」と比喩的に、体が大きく穏やかな犬を表現しています。