1.
人や物を物理的に追いかける。
何かから逃げる人や物を、捕まえようと追いかける様子を表すときに使われます。物理的な移動を伴うニュアンスが強いです。
The
dog
ran
after
the
ball.
(その犬はボールを追いかけました。)
The dog
「その犬」を指します。
ran after
「～を追いかけた」という過去の行動を表します。
the ball.
「そのボール」を指します。
He
was
running
after
the
thief.
(彼は泥棒を追いかけていました。)
He
「彼」という男性を指します。
was running after
「～を追いかけていた」という過去の進行中の行動を表します。
the thief.
「その泥棒」を指します。
Don't
run
after
him!
(彼を追いかけるな！)
Don't
「～してはいけない」という禁止を表します。
run after
「～を追いかける」という行動を表します。
him!
「彼」という男性を指します。
2.
何か（目標、成功、お金、人など）を熱心に追い求める、または（異性を）追いかける。
物理的な追いかけだけでなく、目標や成功、あるいは特定の人物（特に恋愛対象）を熱心に追いかける精神的、比喩的なニュアンスでも使われます。達成や関係性を築こうとする努力を含みます。
She
is
running
after
fame.
(彼女は名声を追い求めている。)
She
「彼女」という女性を指します。
is running after
「～を追い求めている」という現在の状態や進行中の行動を表します。
fame.
「名声」を指します。
He
has
been
running
after
that
girl
for
months.
(彼は数ヶ月間あの女の子を追いかけ続けている（口説いている）。)
He
「彼」という男性を指します。
has been running after
「～を追いかけ続けている」という過去から現在まで続く行動を表します。
that girl
「あの女の子」を指します。
for months.
「数ヶ月間」という期間を表します。