lose face

[ˈluːz ˈfeɪs] ルーズ フェイス

1. 人前で評判や尊厳を失うこと。恥をかくこと。

「face」はここでは「面子」「評判」「威信」といった意味合いで使われます。それを「lose」(失う)することで、公共の場で体面を保てなくなる状況を表します。特に、期待されていた能力を発揮できなかったり、間違いを犯したりして、周囲からの尊敬を失ったときに使われます。
He lost face when his lie was revealed. (彼の嘘がばれたとき、彼は面目を失った。)