fill out

/fɪl aʊt/ フィル アウト

1. 書類や用紙の空欄に必要事項を書き込む。

空白の書類や用紙のスペース(out)を情報で満たす(fill)というイメージです。何らかの情報を書き込んで完成させる行為全般を指します。
Please fill out this application form. (この申込書にご記入ください。)

2. 体などがふっくらする、大きくなる、豊かになる。

空いているスペースや痩せた状態などが、中身や肉などで満たされてふっくらする、または充実するというイメージです。体格が良くなる、植物が茂る、などが含まれます。
She's been working out, and she's starting to fill out a bit. (彼女はトレーニングしていて、少し体つきがよくなってきた(ふっくらしてきた)。)