compact metric space

/ˌkɒmpækt ˌmɛtrɪk ˈspeɪs/ コンパクト メトリック スペース

1. 距離空間であり、かつコンパクトな性質を持つ位相空間。

数学の位相空間論において、コンパクト距離空間は、その空間内の任意の開被覆が有限部分被覆を持つという性質を満たす距離空間を指します。直感的には、「閉じている」かつ「有界である」という性質を持つ空間と考えることができます。これは実数直線上の閉区間のような振る舞いを抽象化したものです。

A fundamental theorem in analysis states that every compact metric space is complete and totally bounded. (解析学における基本的な定理の一つに、任意のコンパクト距離空間は完備かつ全有界であるというものがある。)

• A fundamental theorem: 基本的な定理
• in analysis: 解析学において
• states that: ～を述べている、～である
• every compact metric space: 全てのコンパクト距離空間
• is complete: 完備である
• and totally bounded: そして全有界である

The Heine-Borel theorem provides a classical example of a compact metric space, namely a closed and bounded interval in Euclidean space. (ハイネ・ボレル定理は、ユークリッド空間における閉区間、すなわちコンパクト距離空間の古典的な例を提供します。)

• The Heine-Borel theorem: ハイネ・ボレル定理
• provides a classical example: 古典的な例を提供する
• of a compact metric space: コンパクト距離空間の
• namely: すなわち
• a closed and bounded interval: 閉じて有界な区間
• in Euclidean space: ユークリッド空間において

Continuous functions on a compact metric space are uniformly continuous. (コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続である。)

• Continuous functions: 連続関数
• on a compact metric space: コンパクト距離空間上での
• are uniformly continuous: 一様連続である

A subset of a complete metric space is compact if and only if it is closed and totally bounded. (完備距離空間のサブセットがコンパクトであるのは、それが閉集合かつ全有界である場合に限る。)

• A subset: 部分集合
• of a complete metric space: 完備距離空間の
• is compact: コンパクトである
• if and only if: ～である場合に限る
• it is closed: それが閉集合である
• and totally bounded: そして全有界である

関連

• Metric space
• Compact space
• Completeness
• Totally bounded
• Heine-Borel theorem
• Topology
• Continuity
• Uniform continuity