Through sheer determination
「純粋な決意によって」「ひたむきな決意により」という意味です。
she
「彼女」を指す三人称単数代名詞です。
managed to
「なんとか～した」「どうにか～できた」という、困難な状況下での成功を表します。
accomplish the unthinkable
「想像を絶する偉業を成し遂げる」「不可能を可能にする」という意味の慣用表現です。
and
「そして」「～と」という意味で、二つの行動や事柄をつなぎます。
climb Mount Everest
「エベレスト山に登る」という意味です。
without oxygen
「酸素なしで」「無酸素で」という意味です。