Riemann surface

/ˈriːmən ˈsɜːrfɪs/ リーマンサーフェス

1. 複素解析における1次元の複素多様体。

リーマン面は、複素関数論において、多価関数を単価関数として扱うために導入される、複素数平面を「貼り合わせた」ような幾何学的対象です。複素解析や代数幾何学において中心的な役割を果たします。

The concept of a Riemann surface allows us to visualize multi-valued complex functions. (リーマン面の概念は、多価複素関数を視覚化することを可能にします。)

• The concept: 「概念」という意味です。
• of a Riemann surface: 「リーマン面の」という意味で、前の「概念」を修飾しています。
• allows us: 「私たちに許す」「私たちを可能にする」という意味です。
• to visualize: 「視覚化すること」を意味し、動詞の不定詞形です。
• multi-valued complex functions: 「多価複素関数」という意味で、視覚化の対象を示します。

Every compact Riemann surface is a projective algebraic curve. (すべてのコンパクトなリーマン面は射影代数曲線です。)

• Every: 「すべての」「あらゆる」という意味です。
• compact Riemann surface: 「コンパクトなリーマン面」という意味です。数学における位相的性質を持つ特定の種類のリーマン面を指します。
• is: 「～である」という存在や状態を表す動詞です。
• a projective algebraic curve: 「射影代数曲線」という意味で、リーマン面が持つ別の数学的な性質を示します。

Riemann surfaces are essential for understanding elliptic functions. (リーマン面は楕円関数を理解するために不可欠です。)

• Riemann surfaces: 「リーマン面」の複数形です。この文の主語です。
• are essential: 「不可欠である」「本質的である」という意味です。
• for understanding: 「理解するために」という意味で、目的を示します。
• elliptic functions: 「楕円関数」という意味で、理解の対象を示します。

The genus of a Riemann surface is an important topological invariant. (リーマン面の種数は重要な位相不変量です。)

• The genus: 「種数（しゅすう）」という意味で、リーマン面の位相的な特性を指します。
• of a Riemann surface: 「リーマン面の」という意味で、前の「種数」を修飾しています。
• is: 「～である」という存在や状態を表す動詞です。
• an important: 「重要な」という意味の形容詞です。
• topological invariant: 「位相不変量」という意味です。位相幾何学において、位相空間が連続変形によって変化しない性質を指します。

Conformal mappings play a crucial role in the theory of Riemann surfaces. (等角写像はリーマン面の理論において重要な役割を果たします。)

• Conformal mappings: 「等角写像」という意味です。角度を保つ写像を指します。
• play: 「果たす」という意味の動詞です。
• a crucial role: 「重要な役割」という意味です。
• in the theory: 「理論において」という意味です。
• of Riemann surfaces: 「リーマン面の」という意味で、前の「理論」を修飾しています。

関連

• complex analysis
• complex manifold
• algebraic curve
• conformal mapping
• elliptic function
• moduli space