After
「~の後で」という意味です。時間的な順序を示します。
the
特定の「雨」を指します。文脈からどの雨か特定できる場合に用いられます。
rain,
「雨」という意味です。ここでは雨が降った後という状況を示しています。
the
特定の「砂漠」を指します。文脈からどの砂漠か特定できる場合に用いられます。
desert
「砂漠」という意味です。ここでは砂漠全体の状況について述べています。
begins
「始まる」という意味です。ここでは砂漠に花が咲き始める様子を表します。
to
「~するために」という意味です。ここでは花が咲くという目的を示します。
flower.
「花を咲かせる」という意味です。ここでは砂漠に花が咲き始める行為を表します。