personal day

[ˈpɜːrsənəl deɪ] パーソナル デイ

1. 個人的な用事のために取得する休暇日。通常、病気休暇や通常の有給休暇とは別に与えられる。

従業員が病気ではない個人的な理由(例えば、家の用事、行政手続き、子供のイベントなど)で仕事を休むことができる日を指します。通常の有給休暇や病気休暇とは別に、雇用主から特別に与えられる休暇制度の一部として存在することが多いです。
I'm taking a personal day tomorrow to deal with some family matters. (明日、家族の用事を済ませるために個人都合の休暇を取ります。)
関連
sick day
vacation day
leave of absence