I asked him to
「彼に~するように頼んだ」という意味です。「ask someone to do something」で「誰かに何かをするように頼む」という意味になります。
listen carefully
注意を払って聞くこと、集中して聞くことを意味します。
to the expert's advice
「専門家のアドバイスに」という意味です。「to ~」で「~に対して、~に」という方向や対象を示し、「the expert's advice」は「その専門家のアドバイス」を指します。