if and only if

/ɪf ænd ˈoʊnli ɪf/ イフ アンド オンリー イフ

1. 「～の場合に限り、そしてその場合に限り」「～であることと～であることは同値である」

ある命題が別の命題と完全に等価であることを厳密に表現する際に用いられます。片方が真であればもう片方も真、片方が偽であればもう片方も偽という関係性を強調します。数学や論理学でよく使われます。

A triangle is equilateral if and only if all of its sides are equal. (三角形が正三角形であるのは、その全ての辺が等しい場合に限られる。)

• A triangle: 「一つの三角形」を指します。
• is equilateral: 「正三角形である」という状態を示します。
• if and only if: 「～の場合に限り、そしてその場合に限り」という論理的な同値関係を表します。
• all of its sides: 「その全ての辺」を指します。
• are equal: 「等しい」という状態を示します。

You can enter the building if and only if you have a valid pass. (有効なパスを持っている場合に限り、その建物に入ることができます。)

• You: 「あなた」を指します。
• can enter: 「入ることができる」という能力や許可を表します。
• the building: 「その建物」を指します。
• if and only if: 「～の場合に限り、そしてその場合に限り」という条件を厳密に示します。
• you have: 「あなたが持っている」ことを示します。
• a valid pass: 「有効な通行証」を指します。

A number is prime if and only if it has exactly two distinct positive divisors: 1 and itself. (ある数が素数であるのは、それがちょうど2つの異なる正の約数、すなわち1とそれ自身を持つ場合に限られる。)

• A number: 「ある数」を指します。
• is prime: 「素数である」という状態を示します。
• if and only if: 「～の場合に限り、そしてその場合に限り」という論理的な必要十分条件を表します。
• it has: 「それが持っている」ことを示します。
• exactly two distinct positive divisors: 「ちょうど2つの異なる正の約数」を指します。
• 1 and itself: 「1とそれ自身」を指します。

関連

• iff
• implies
• equivalent to
• necessary and sufficient condition
• biconditional