He
男性の人称代名詞「彼」を指します。
finally
「ついに」「ようやく」という意味で、長く待った結果であることを示します。
caught sight of
「〜を発見する」「〜を見つける」という意味で、ここでは過去形です。
his lost dog
「彼の迷子の犬」を指します。所有を表す 'his' と、失われた状態を表す 'lost' が 'dog' を修飾しています。
running across the park
「公園を横切って走っている」という、犬の動作と場所を説明する句です。