The manager
「そのマネージャー」を指します。
must ensure
「～を確実にしなければならない」という意味で、義務や必要性を示します。
that all team members
「すべてのチームメンバーが～すること」という接続詞"that"に続く節です。
carry out
「～を遂行する」「～を実行する」という動詞句です。
their assigned tasks
「彼らに割り当てられたタスク」「彼らの任務」を指します。「assigned」は「割り当てられた」という意味の過去分詞です。
efficiently
「効率的に」という意味の副詞です。