Second-order logic

[ˈsɛkənd ˈɔːrdər ˈlɒdʒɪk] セカンドオーダー ロジック

1. 二階述語論理

二階述語論理は、一階述語論理を拡張したもので、変数だけでなく、述語や関数にも量化子（「全ての」や「存在する」など）を適用することを可能にします。これにより、より複雑な数学的構造や理論を表現する能力が高まります。

Second-order logic extends first-order logic by allowing quantification over predicates and functions. (二階述語論理は、述語や関数にわたる量化を許容することで、一階述語論理を拡張します。)

• Second-order logic: 数学および論理学における「二階述語論理」という専門用語です。
• extends: 「〜を拡張する」「〜を広げる」という意味の動詞です。
• first-order logic: 数学および論理学における「一階述語論理」という専門用語です。
• by allowing: 「〜を許容することによって」という手段や方法を表す句です。
• quantification: 「量化」という意味の名詞です。論理学において、変数に「全て」や「存在する」といった範囲を指定する操作を指します。
• over predicates and functions: 「述語や関数にわたる」という意味で、量化の対象が述語や関数であることを示します。

Many important mathematical theories can be formalized in second-order logic. (多くの重要な数学的理論は、二階述語論理で形式化することができます。)

• Many important mathematical theories: 「多くの重要な数学的理論」という複数の名詞句です。
• can be formalized: 「形式化することができる」という可能性を表す助動詞と受動態の句です。
• in second-order logic: 「二階述語論理において」「二階述語論理で」という手段や場を示す句です。

Unlike first-order logic, second-order logic is not complete and not compact. (一階述語論理とは異なり、二階述語論理は完全でもコンパクトでもありません。)

• Unlike first-order logic: 「一階述語論理とは異なり」という比較と対比を示す句です。
• second-order logic: 数学および論理学における「二階述語論理」という専門用語です。
• is not complete: 「完全ではない」という意味で、論理体系が持つ性質の一つである「完全性」を否定しています。
• and not compact: 「そしてコンパクトでもない」という意味で、論理体系が持つもう一つの性質である「コンパクト性」を否定しています。

The expressive power of second-order logic is significantly greater than that of first-order logic. (二階述語論理の表現力は、一階述語論理のそれよりも著しく大きい。)

• The expressive power: 「表現力」という意味の名詞句です。
• of second-order logic: 「二階述語論理の」という所属や関連を示す句です。
• is significantly greater: 「著しく大きい」という比較級の表現です。
• than that of first-order logic: 「一階述語論理のそれ（表現力）よりも」という比較対象を示す句です。

関連

• First-order logic
• Higher-order logic
• Predicate logic
• Mathematical logic
• Quantification
• Model theory
• Completeness theorem
• Compactness theorem