Pole (complex analysis)

/poʊl/ ポール

1. 複素解析において、有理型関数の特異点の一種で、ローラン級数展開において負のべき乗の項が有限個である点。この点に近づくと関数の絶対値は無限大に発散します。

複素解析における関数が解析的でなくなる点のうち、ローラン級数展開を行った際に、(z-a)の負のべき乗の項が有限個しか存在しないような特異点を指します。この点に近づくにつれて、関数の値の絶対値は無限大に発散します。例えば、f(z)=1/z の関数では z=0 が1位の極です。

The function f(z) = 1/z has a simple pole at z=0. (関数 f(z) = 1/z は z=0 に1位の極を持ちます。)

• The function f(z) = 1/z: 関数 f(z) = 1/z は、複素解析で扱われる特定の関数を指します。
• has: 「～を持つ」という所有や存在を表します。
• a simple pole: 「1位の極」を意味し、特異点の一種です。
• at z=0: zが0である位置を指します。

Identifying the poles of a complex function is crucial for residue theorem applications. (複素関数の極を特定することは、留数定理の応用にとって非常に重要です。)

• Identifying: 「～を特定すること」を意味します。
• the poles: 「極」を指し、ここでは複数の極を意味します。
• of a complex function: 「複素関数」の、という意味です。
• is crucial: 「極めて重要である」という意味です。
• for: 「～にとって」「～のために」という目的や対象を表します。
• residue theorem applications: 「留数定理の応用」を意味します。

A pole of order m means that (z-z₀)ᵐf(z) is analytic and non-zero at z₀. (位数mの極とは、(z-z₀)ᵐf(z)がz₀で解析的であり、かつゼロではないことを意味します。)

• A pole of order m: 「位数mの極」を意味し、特異点の種類と強さを示します。
• means that: 「～を意味する」という表現です。
• (z-z₀)ᵐf(z): 特定の数学的な操作が施された関数を表します。
• is analytic: 「解析的である」という関数の性質を表します。
• and non-zero: 「そしてゼロではない」という条件を表します。
• at z₀: z₀という特定の位置を指します。

関連

• zero (complex analysis)
• essential singularity
• removable singularity
• Laurent series
• meromorphic function
• residue