Galois extension

[ɡæˈlwɑː ɪkˈstɛnʃən] ガロア エクステンション

1. 体論における、正規かつ分離的な性質を持つ体の拡大。

ガロア拡大とは、数学における体論、特にガロア理論において非常に重要な概念です。これは、ある体 K の別の体 L への拡大（L が K を含む場合）が、以下の二つの条件を満たすときに「ガロア拡大」と呼ばれます。一つは「正規拡大」であること、もう一つは「分離拡大」であることです。正規拡大とは、K 上の既約多項式が L に根を持つ場合、その多項式の全ての根が L に含まれることを意味します。分離拡大とは、K 上の既約多項式の全ての根が互いに異なることを意味します。ガロア拡大は、その自己同型群であるガロア群との間に密接な関係があり、これにより多項式の根の対称性や、多項式の根がどのように体構造を決定するかを深く理解することができます。

The fundamental theorem of Galois theory establishes a correspondence between the subgroups of the Galois group and the intermediate fields of a Galois extension. (ガロア理論の基本定理は、ガロア群の部分群とガロア拡大の中間体との間に対応関係を確立する。)

• The fundamental theorem of Galois theory: ガロア理論における重要な定理を指します。
• establishes: 確立する、設定する。
• a correspondence: ある対応、一致。
• between: ～の間に。
• the subgroups: 部分群。群論における群の概念の部分的な構造を指します。
• of the Galois group: ガロア群の。ガロア拡大に関連する自己同型群を指します。
• and the intermediate fields: そして中間体。拡大体の間に存在する体を指します。
• of a Galois extension: ガロア拡大の。この文の主題である特定の種類の体の拡大を指します。

Every finite separable extension is a simple extension if it is also a Galois extension. (全ての有限分離拡大は、もしそれがガロア拡大でもあるならば、単純拡大である。)

• Every finite separable extension: 全ての有限分離拡大。有限次で分離的な体の拡大を指します。
• is a simple extension: 単純拡大である。一つの要素で生成される体の拡大を指します。
• if it is also: もしそれがまた。条件を示します。
• a Galois extension: ガロア拡大。正規かつ分離的な体の拡大を指します。

To apply the results of Galois theory, one often needs to ensure that the given field extension is a Galois extension. (ガロア理論の結果を適用するためには、与えられた体の拡大がガロア拡大であることを確認する必要がある。)

• To apply: 適用するために。目的を示します。
• the results: 結果。
• of Galois theory: ガロア理論の。
• one often needs: 人はしばしば必要とする。
• to ensure: 確実にする、保証する。
• that the given field extension: 与えられた体の拡大が。
• is a Galois extension: ガロア拡大である。

関連

• Field extension
• Galois group
• Separable extension
• Normal extension
• Fundamental theorem of Galois theory
• Algebraic closure