I
「私」という人を指します。
can't
「~できない」という否定を表す助動詞 can と not が合わさった短縮形です。
put up
「我慢する」「耐える」という意味の句動詞 put up with の一部で、ここでは「我慢する」という行為の準備段階を示唆します。
with
「~と一緒に」「~に対して」という意味の前置詞で、何に対して我慢するかを示します。
his
「彼の」という意味の所有形容詞で、誰の行動かを特定します。
constant
「絶え間ない」「常に」という意味の形容詞で、行動の頻度や継続性を示します。
complaining
「不満を言うこと」「文句を言うこと」という意味の動名詞で、具体的な行動内容を示します。