form a relationship

[fɔːm ə rɪˈleɪʃənˌʃɪp] フォーム ア リレイションシップ

1. 人と人との間に絆や繋がりを作る。

友人、同僚、知人など、様々なレベルで人との間に繋がりや絆を築き始めることを意味します。信頼や理解に基づいた関係性を徐々に発展させていくニュアンスを含みます。
It takes time to form a relationship with someone new. (新しい誰かと関係を築くには時間がかかります。)

2. 恋愛関係や交際を開始する。

特に恋愛において、二人の間に特別な繋がりが生まれ、交際を開始することを意味します。友人関係から一歩進んで、恋人同士の関係になるニュアンスを含みます。
After months of dating, they decided to form a relationship. (数ヶ月のデートの後、彼らは交際を始めることにしました。)