Some people
「一部の人々」という意味です。
believe that
「~だと信じている、考えている」という意味で、続く節の内容を示します。
traditional methods
「伝統的な方法」という意味です。
are
「~である」という状態を表す動詞です。
too old-fashioned
「~すぎる」という意味のtooと「時代遅れの、古風な」という意味のold-fashionedで、「古すぎる、時代遅れすぎる」という意味になります。
for modern problems
「現代の問題には」という対象や適合を示します。