The Royal Institution
英国王立研究所。特定の科学機関を指します。
is renowned for
~で有名である、~で知られている、という意味です。
its Christmas Lectures
そのクリスマスレクチャー。毎年開催される科学普及講演会です。
which aim to
~することを目的とする、という意味で、前の句を修飾しています。
inspire young people
若い人々を奮起させる、感動させる、という意味です。
about science
科学について、という意味です。