Harmonic function

hɑːrˈmɒnɪk ˈfʌŋkʃən ハーモニック ファンクション

1. ある領域で、ラプラス方程式を満たす（すなわちラプラシアンがゼロである）実数値関数。熱伝導、流体、電位などの物理現象を記述する際に現れる。

調和関数は、その定義域内で非常に滑らかであり、ある点の値がその周囲の点の平均値によって決定されるという特別な性質（平均値の性質）を持ちます。これは、物理学で平衡状態にある系（例えば、熱が定常的に流れている物体内の温度分布や、電荷がない空間の電位）を記述する際に非常に重要な概念です。

The temperature distribution in a steady state satisfies the Laplace equation, hence it is a harmonic function. (定常状態における温度分布はラプラス方程式を満たすため、調和関数です。)

• The temperature distribution: 温度がどのように分布しているかを示します。
• in a steady state: 時間によって変化しない安定した状態を意味します。
• satisfies the Laplace equation: ラプラス方程式という特定の数学的条件を満たしていることを示します。
• hence: 前の文の結果として、という意味で、「したがって」と訳されます。
• it is a harmonic function: それが調和関数であることを述べています。

Harmonic functions are infinitely differentiable. (調和関数は無限回微分可能です。)

• Harmonic functions: 調和関数を指します。
• are infinitely differentiable: 何回でも微分できる、非常に滑らかな性質を持つことを意味します。

Any real-valued harmonic function is analytic. (任意の実数値調和関数は解析的です。)

• Any real-valued: 実数値を取る任意の、という意味です。
• harmonic function: 調和関数を指します。
• is analytic: 解析的である、すなわちテイラー級数で局所的に表現できる性質を持つことを意味します。

関連

• Laplace equation
• analytic function
• potential theory
• subharmonic function
• superharmonic function
• complex analysis