A formal system
「形式体系」という特定の種類の体系を指します。
consists of
「～から成る」「～で構成されている」という意味です。
a set of symbols
「記号の集合」という意味です。
a grammar for forming well-formed formulas
「整形式論理式（論理的に正しい構造を持つ式）を形成するための文法」という意味です。
a set of axioms
「公理の集合」、つまり証明なしに真と仮定される基本的な命題の集まりを指します。
and
「そして」「～と」と、要素をつなげます。
a set of inference rules
「推論規則の集合」、つまりある命題から別の命題を導き出すための規則の集まりを指します。