The factory
特定の工場を指します。文の主語です。
was fined
「罰金が科せられた」という受動態の表現です。
for
〜の理由で、〜のために、といった原因や理由を示します。
illegally
「不法に」「違法に」という意味の副詞です。
dumping
「投棄すること」という動名詞で、forの目的語になっています。
toxic waste
「有害な廃棄物」という複合名詞で、dumpingの目的語です。
into the river
「その川の中へ」という意味で、場所と方向を示します。