I
「私」という人を指します。文の主語として、話している本人を示します。
will
助動詞で、未来の予定や意思を表します。ここでは「~するつもりだ」という意味合いです。
take
ここでは「行う」という意味合いで使われています。後に続く「care of」と組み合わさって特定の行動を表します。
care of
「世話をする」という意味を持つ句動詞の一部です。ここでは未来において世話をするという意志を示します。
your
「あなたの」という意味で、対象となる人物(聞き手)に属するものを指し示します。
dog
「犬」を意味する一般的な名詞です。特定の種類の犬ではなく、一般的な犬を指します。
while
「~の間」という意味で、ある期間を示します。ここでは「あなたが~している間」という意味で使われています。
you
「あなた」という人を指します。文の聞き手であり、世話をする対象の犬の飼い主を指します。
are
be動詞で、「~である」という意味です。ここでは「you」と組み合わさって「あなたが~である」という状態を示します。
away
「離れて」という意味で、ここでは「不在である」という状態を表します。