I
「私」という人を指します。
was
動詞「be」の過去形です。「～であった」という状態を表します。
on the point of
「まさに～しようとしている」「～寸前である」という意味の熟語です。
giving up
「give up（諦める）」のing形です。ここでは「諦めること」という意味になります。
when
「～の時」という意味の接続詞です。
I
「私」という人を指します。
finally
「ついに」「ようやく」という意味の副詞です。
found
動詞「find（見つける）」の過去形です。「見つけた」という意味です。
the solution
「その解決策」という特定の解決策を指します。