Winning this round
動名詞句で、「このラウンドに勝つこと」という意味です。文の主語として機能します。「winning」は動詞「win」の動名詞、「this round」は「このラウンド」を意味する名詞句です。
means
動詞「mean」の三人称単数現在形で、「~を意味する」という意味です。
eliminating
動名詞で、「~を排除すること」という意味です。動詞「means」の目的語となります。
the other team
「他のチーム」を意味する名詞句です。「the other」は「もう一方の」「残りの」という限定詞、「team」は「チーム」を意味する名詞です。