He started
「彼は始めた」という意味で、何らかの行動を開始したことを示します。
coughing
「咳をし始める」という行動の目的語として使われています。
after
「〜の後で」という意味で、時間的な順序を示します。
he
「彼」という男性を指す三人称単数代名詞です。
swallowed
「飲み込んだ」という意味の動詞 swallow の過去形です。
something
「何か」という意味の不定代名詞です。
wrong
「間違った」「不適切な」という意味で、何かを誤って飲み込んだ状況を指します。