I hope you're doing well

/aɪ hoʊp jʊər ˈduːɪŋ wɛl/ アイ ホウプ ユア ドゥーイング ウェル

1. 相手が元気でいることや、物事が順調に進んでいることを願う丁寧な挨拶。

相手が健康で、物事が順調に進んでいることを心から願う気持ちを伝える、非常に一般的な挨拶です。しばらく連絡を取っていない友人や同僚、または病気から回復中の人など、様々な状況で使われます。ビジネスメールの冒頭などでもよく用いられます。
I hope you're doing well. (お元気でお過ごしでしょうか。)

2. コミュニケーションの導入として、相手への配慮を示す定型句。

相手とのコミュニケーションを始める際に、礼儀として使われる定型的なフレーズです。特にビジネスメールやフォーマルな連絡で、本題に入る前に相手への配慮を示すために挿入されます。具体的な相手の状況を知らなくても使えます。
Dear Mr. Smith, I hope you're doing well. I'm writing to discuss... (スミス様、お元気でお過ごしでしょうか。~についてご相談したくご連絡いたしました...)
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