To be
「存在すること」「生きること」という意味を持つ不定詞句です。
or
「あるいは」「それとも」という選択肢を示す接続詞です。
not to be
「存在しないこと」「生きないこと」「死ぬこと」という意味を持つ不定詞句です。
that
「それは」「そのこと」を指す代名詞です。ここでは直前の「To be or not to be」の内容を指します。
is
主語が単数現在である「that」に対応するbe動詞です。
the question.
「問題」「疑問」という意味の名詞句です。定冠詞の「the」が特定の「問題」であることを示しています。