1.
英語の「be動詞」のこと。主語の状態や性質、存在を表す動詞。
英語において、主語が何であるか、どのような状態であるか、どこにいるかなどを表現するために不可欠な動詞です。「am」「is」「are」「was」「were」「been」「being」といった形があります。
I
am
a
student.
(私は学生です。)
I
話している本人（私）を指します。
am
「～である」という意味のbe動詞の現在形です。主語がIの場合に使われます。
a student
特定の学生ではなく、一般的に「一人の学生」を指します。
She
is
happy.
(彼女は幸せです。)
She
話している女性（彼女）を指します。
is
「～である」という意味のbe動詞の現在形です。主語が三人称単数（he, she, itなど）の場合に使われます。
happy
「幸せな」という状態を表す形容詞です。
They
were
at
home.
(彼らは家にいました。)
They
複数の人々（彼ら）を指します。
were
「～だった」という意味のbe動詞の過去形です。主語が複数（we, you, they）の場合に使われます。
at home
「家に」という場所を表すフレーズです。
2.
進行形や受動態を作る際に、他の動詞を助ける助動詞としての「be動詞」。
「be動詞」は、主動詞と組み合わさることで、現在進行形（I am studying）や過去進行形（They were playing）、受動態（The book was written）などの複雑な時制や文の構造を作り出す助動詞としても機能します。
I
am
studying
English.
(私は英語を勉強しています。)
I
話している本人（私）を指します。
am
「～している」という現在進行形を作るためのbe動詞の現在形です。主語がIの場合に使われます。
studying
「勉強する」という動詞studyの現在分詞形で、amと組み合わせて進行中の動作を表します。
English
「英語」という教科名を指します。
The
door
was
opened
by
him.
(そのドアは彼によって開けられました。)
The door
特定のドアを指します。
was
「～された」という受動態を作るためのbe動詞の過去形です。主語が単数（the door）の場合に使われます。
opened
「開ける」という動詞openの過去分詞形で、wasと組み合わせて受動態を表します。
by him
「彼によって」という動作の主体を表すフレーズです。
They
are
building
a
new
house.
(彼らは新しい家を建てています。)
They
複数の人々（彼ら）を指します。
are
「～している」という現在進行形を作るためのbe動詞の現在形です。主語が複数（they）の場合に使われます。
building
「建てる」という動詞buildの現在分詞形で、areと組み合わせて進行中の動作を表します。
a new house
新しい家を指します。特定のものではなく、一般的な「新しい家」を意味します。