He
三人称単数男性「彼」を指します。
hasn't
「~していない」という助動詞has notの短縮形です。
been
「~であった」というbe動詞の過去分詞形で、hasn'tと合わせて現在完了形(ここでは状態の継続)を表します。
feeling
「感じている」という動詞feelの現在分詞形で、hasn't beenと合わせて現在完了進行形「ずっと感じている」または現在完了形(状態)を表します。
poorly
「気分が悪く」「体調が悪く」という意味の副詞で、feelingの状態を説明します。
since
「~以来」という起点を示す前置詞または接続詞です。
yesterday
「昨日」という時間を表す名詞または副詞です。