They
「彼ら」「彼女ら」「それら」など、複数の人や物を指します。
are
「～である」という状態を表す動詞（主語が複数の場合）。
seeking
「～を探している」「～を求めている」という意味の現在進行形動詞。
a
特定でない単数名詞の前につく冠詞。
long-lasting
「長続きする」「持続的な」という意味の形容詞。
solution
「解決策」を指します。
to
ここでは目的を示す「～のために」や方向を示す「～へ」といった意味を含み得ますが、文脈により解釈が変わります。この文脈では'solution to X'で「Xへの解決策」という意味。
the
特定の、あるいは既出の名詞の前につく冠詞。
problem
「問題」を指します。
."
文の終わりを示します。