Many open-source projects
「多くのオープンソースプロジェクト」を指します。
thrive on
「～で繁栄する」という意味です。
a bottom-up approach
「ボトムアップアプローチ」で、個々の要素から全体を構築する手法を指します。
where contributors
「そこでは貢献者たちが」という意味です。
improve small parts
「小さな部分を改善する」という意味です。
independently
「独立して、個別に」という意味です。